Entscheidungstheorie
Lehre
Gegenstand der Entscheidungstheorie ist die, wie die Bezeichnung vermuten lässt, die finanzwirtschaftliche Theorie der Entscheidungen. Entscheidungen sind für uns so alltäglich (zum Beispiel: »Mensa: ja oder nein?«), dass wir oft nicht mehr ausgiebig darüber nachdenken. Wenn aber finanziell bedeutsame Konsequenzen drohen (zum Beispiel: »Soll ich für meine Rente vorsorgen und wenn ja, wie?«), dann benötigen wir eine gehaltvolle und überzeugende Theorie, die uns Leitlinien gibt. Zwei dieser Theorien werden wir hier kennen lernen.
Es handelt sich um den Erwartungsnutzenkalkül und die µ-σ-Theorie (Portfoliotheorie). Beide Ansätze sollen in der Vorlesung behandelt werden. Weil es sich bei den Ansätzen um sehr allgemeine Theorien handelt, wird diese Vorlesung wenig anwendungsorientiert sein. Sie verlangt, dass Sie die Bereitschaft zum formalen Arbeiten und abstrakten Denken mitbringen. Die Anstrengung lohnt sich, wenn Sie die Grundprinzipien finanzwirtschaftlicher Entscheidungen verstehen wollen. Die Vorlesung findet im Regelfall im Wintersemester statt.
Wir haben auf dem Netz die folgenden Klausuren: WS2006/07 mit Lösung , SS2007 mit Lösung, WS2007/08 mit Lösung , SS2008 mit Lösung, WS2008/09 mit Lösung, die Zwischenklausur WS2009/10 mit Lösung, die Endklausur WS2009/10 mit Lösung und die Endklausur WS2010/11 mit Lösung.
Ablauf
Sie finden sämtliche aktuellen Informationen zur Veranstaltung (Lehrmaterialien etc. in Blackboard. Sie sollten idealerweise die folgende Literatur vor den jeweiligen Vorlesungen gelesen haben:
| VL | Thema | Literatur (Skript) |
|---|---|---|
| 1 | Grundmodell unter Sicherheit, offenbarte Präferenz | Abschnitt 1.1 |
| 2 | Präferenzen unter Sicherheit | Abschnitt 1.2 |
| 3 | Grundmodell Erwartungsnutzen | Abschnitt 1.3 |
| 4 | Markowitz-Prämie | Abschnitt 2.1 |
| 5 |
Einfaches Portfolioproblem |
Abschnitt 2.2 |
| 6 | Absolute Risikoaversion | Abschnitt 2.3 |
| 7 | Relative Risikoaversion | Abschnitt 2.4 |
| 8 | Stochastische Dominanz (FSD) | Abschnitt 2.5 |
| 9 | Stochastische Dominanz (SSD) | Abschnitt 2.5 |
| 10 | Grundmodell Ungewissheit | Abschnitt 3 |
| 11 | Erwartungsnutzen bei Ungewissheit | Abschnitt 3 |
| 12 | Anwendungen von Ungewissheit | Abschnitt 3 |
| 13 | Grundmodell μ-σ-Theorie | Abschnitt 4 |
| 14 | Sättingung beim μ-σ-Kalkül | Abschnitt 4 |
| 15 | Wiederholung |
Formale Klausurfragen (letzte Änderung 20.09.2023)
Wir haben in der Vergangenheit beobachtet, dass einige Studenten sich darauf verlassen, kurz vor der Klausur die wichtigsten Elemente der Vorlesung wie auch die Lösungen einiger Übungsaufgaben auswendig zu lernen. Um die Entscheidungstheorie zu verstehen, genügt das nicht. Es mag sein, dass sie mit diesem Vorgehen die Klausur bestehen, aber Sie müssen schon eine Menge Glück haben, um eine gute Note zu bekommen. Der Gegenstand dieser Vorlesung ist nicht einfach und es bedarf einiger Zeit, die Zusammenhänge zu verstehen. Schon gar nicht gelingt es, diese Theorie im Schnelldurchlauf zu pauken. Wir raten Ihnen daher dringend, den Stoff regelmäßig während des Semesters mit anderen Kommilitonen durchzugehen und gemeinsam zu versuchen, die Übungsaufgaben zu lösen. Zum einen macht es mit Anderen mehr Spaß, zum anderen bemerkt man so viel eher, wo der Stoff nicht verstanden wurde. Und zu aller Letzt werden Sie in der Zeit kurz vor der Klausur mit dieser Vorlesung so weniger Arbeit haben.
Bitte beachten Sie, dass wir uns vorbehalten, unsere Antworten bis zwei Wochen vor der Klausur nachträglich zu verändern.
- Woran orientiert sich die Klausur?
Die Klausur wird zu einem Großteil aus Rechenaufgaben bestehen, die sich an den Übungsaufgaben orientieren. Das Skript ist natürlich auch relevant (Definitionen, Aussagen der Sätze). - Sind Beweise klausurrelevant?
Für die Klausur sind kleinere Beweise (also etwa <1 Seite) relevant, nicht aber die schweren Beweise (>1 Seite) im Skript. - Welche Mathematikkenntnisse sind notwendig?
Sie sollten die üblichen Funktionen wie Logarithmus und die Potenzfunktionen ableiten und integrieren können. - Wie kann man sich optimal auf die Klausur vorbereiten?
Wenn Sie die Übungsaufgaben immer gelöst haben und den Stoff der Vorlesung nachvollziehen konnten (in dieser Reihenfolge!), dann sind Sie optimal vorbereitet. - Wird es Wahlmöglichkeiten bei den Aufgaben geben?
Nein. Dafür gibt es mehrere kleine Aufgaben, typischerweise gehe ich von ca. 4-5 Aufgaben in der Klausur aus. - Können Sie eine Beispielfrage nennen?
Nein, aber ca. 2/3 bis 3/4 der Zeit werden Sie für Rechnungen und den Rest für Theoriefragen aufwenden müssen. Sie sollten beispielsweise die Definitionen und die Grundaussagen der Sätze kennen. - Muss man die Sätze wortwörtlich wiedergeben können?
Nein, inhaltlich genügt. - Ihren im Skript beigefügten Hinweisen zur Klausur entnehme ich, dass kleinere Beweise klausurrelevant sind, die "schweren" im Skript allerdings nicht. Darf ich daraus schließen, dass nur Beweise, die in der Übung geführt wurden (positive Transformation der Nutzenfunktion etc.), potenziell abgeprüft werden?
Nein, für die Klausur gilt dieses nicht. - Beispielsweise ist der Beweis von Satz 2.4 meiner Meinung nach immer noch ein bisschen schwer, auch wenn Sie das in der Vorlesung sehr verständlich dargestellt haben. Ich würde also so einen Beweis nicht führen müssen in der Klausur, wenn ich das richtig verstanden habe.
Das haben Sie (siehe oben) falsch verstanden: "bisschen schwer" ist weniger als "schwer". - Weiterhin weiß ich von vorhergehenden Klausuren, dass Beweise, die länger als eine Seite sind nicht abgefragt werden. Aber mir wurde auch etwas zugetragen von "zweigeteilten" Beweisen. In diesem Zusammenhang stellt sich für mich die Frage, ob der Beweis zu dem Satz 2.7 für die Klausur relevant ist, da er länger als eine Seite ist.
Ja. Satz 2.7 besteht aus drei Teilen, die jeweils unter einer Seite sind. - Meine Mathematikkenntnisse sind eher rudimentär. Wird darauf Rücksicht genommen?
Nein. Wir setzen voraus, dass Sie die Details aus unserem Matheskript (siehe vorn) kennen. - Nun war davon die Rede, dass "schwere" Beweise und welche, die über 1 Seite lang sind, nicht relevant sind. Im FAQ fand ich eine Frage zum Beweis des Satzes 2.7. Im FAQ wurde geantwortet, dass dieser Satz relevant sei. Daher habe ich Schwierigkeiten nun einordnen zu können, zu welchen Sätzen überhaupt welche Beweise relevant sind. Ist zum Beispiel der Beweis von Satz 3.4 (Tobin-Separation) klausurrelevant?
Satz 2.7 besteht aus drei Teilen, die jeweils unter einer Seite sind. Deshalb ist er klausurrelevant. Ich würde aber den Beweis der Tobin-Separation ausschließen. Haben Sie bitte Verständnis dafür, dass ein Kriterium der Form "Schwere Beweise werden nicht geprüft" schon deshalb unsinnig ist, weil wir uns dann immer nach dem Studenten richten müssten, der am wenigstens Lust zum Lernen hat. Mit solchen Klausuren kann man gute von sehr guten Studentinnen nicht unterscheiden. - Können wir in der Klausur davon ausgehen dass der sichere Titel Y_1 heißt und dieser den Preis bzw. den Erwartungswert 1 hat?
Nein, er könnte beispielsweise auch Y_2 heißen, einen erwarteten (=sicheren) Rückfluss von 2,5 und einen Preis p(Y_2)=3 besitzen. Allerdings ist es nicht unser Ziel, Sie durch möglichst unsinnige Variablenbezeichnungen zu verwirren. - Müssen wir in der Klausur Variablen definieren oder müssen wir z. B. wenn wir ω schreiben auch unbedingt den Anteil am Gesamtportfolio meinen?
Wenn Sie Ihre Notation der Vorlesung/Übung anpassen, dann müssen Sie diese nicht ausdrücklich dokumentieren. Ebenso, wenn aus dem Kontext eindeutig und schnell erkennbar ist, was Sie mit einem bestimmten Symbol meinen (wenn sie beispielsweise θ statt ω als Anteil eines Wertpapiers am Gesamtportfolio wählen und dieses aus der Gleichung für den Erwartungswert oder der Varianz des Portfolios eindeutig ersichtlich ist). Wenn Sie - was wir Ihnen nicht empfehlen - hingegen eine eigene "wilde" Notation verwenden (z.B. θ für den Preis eines Wertpapieres), dann müssen Sie dieses dokumentieren. Kurz: Wir weigern uns, bei der Korrektur ausgiebige Dechiffrierungsarbeiten vorzunehmen, stellen uns aber auch nicht dumm. - Ist die Berechnung der Markowitz-Prämie sowohl präzise als auch nach der Näherungsformel klausurrelevant?
Ja. - Werden in den Klausuren Folgefehler berücksichtigt?
Ja. Wir empfehlen Ihnen daher, nicht zu viel der Bearbeitungszeit mit der Suche nach entdeckten Rechenfehlern zu vergeuden, sondern auf diese Entdeckung in einem kurzen Satz hinzuweisen („Das Ergebnis muss falsch sein, weil…“). - Wenn ich keine Zeit mehr für eine richtige Lösung habe, sollte ich dann wenigstens den Ansatz einer Aufgabe hinschreiben?
Wenn diese Eigenleistung als notenrelevant eingestuft wird, gibt es auch Punkte auf die bloße Schilderung des Ansatzes. Gleiches gilt für eine kurze Skizze, wie eine unvollständige Rechnung fortgeführt werden müsste. Keine Punkte gibt es auf Trivialitäten und vage oder wirre Ausführungen, die ganz offensichtlich nur niedergeschrieben wurden, um Zufallstreffer zu landen. - Sind auch Übungsaufgaben klausurrelevant, die in der Übung nicht behandelt wurden?
Nein, sofern die entsprechenden Inhalte nicht anderweitig (bspw. durch andere Übungsaufgaben) ausgiebig vermittelt wurden. - Dürfen wir einen "Spickzettel" verwenden?
Ja, Sie dürfen neben einem Taschenrechner ein beidseitig beschriebenes oder bedrucktes DIN A4-Blatt mit in die Klausur nehmen. Es darf aber nicht beklebt sein (sonst könnte daraus ja eine Ziehharmonika mit 20 Seiten werden...). - In alten Klausuren wurden Aufgaben gestellt, die heute nicht mehr Übungsaufgaben sind. Können diese weiterhin in der Klausur drankommen?
Diese Aufgaben waren auch damals keine Übungsaufgaben. Wir erwarten von Ihnen, dass Sie Transferleistungen erbringen können. - Manche Dinge (komplizierten Ableitungen, Regel von l'Hospital, Renditeberechnung über Portfolioanteile, usw.) haben wir nur am Rande behandelt. Sind die auch klausurrelevant?
Ja. - Zunächst bin ich mir unsicher, wie lang die Bearbeitungszeit für die zur Verfügung gestellten Altklausuren war, sind diese auf eine oder auf zwei Stunden ausgelegt, bzw. wird unsere Klausur in diesem Semester nur einstündig sein?
Das können Sie anhand der Punktzahlen erkennen: Ein Punkt entspricht einer üblicherweise Minute. Unsere Klausur ist einstündig. - Außerdem würde mich interessieren, ob, wenn die Vergleichbarkeit, Stetigkeit und Transitivität einer Präferenzordnung zu prüfen ist, das Nennen der zugehörigen Nutzenfunktion (falls vorhanden) als Beweis genügen würde oder ob wir dennoch auf die einzelnen Kriterien eingehen sollen.
Ja, das würde genügen - es sei denn Sie weden explizit aufgefordert, diese Eigenschaften zu prüfen und Ihnen wird nicht gestattet, den Satz von Debreu zu verwenden. - Darf man stochastische Dominanz auch graphisch nachprüfen/beweisen?
Wenn dies nicht explizit ausgeschlossen ist, ja.
Inhaltliche Klausurfragen
- Was genau heißt es denn, wenn dRRA/dx > 0 ist? Heißt das einfach, dass die relative Risikoaversion mit steigendem Vermögen zunimmt und die Nutzenfunktion daher nicht zweckmäßig ist, da die RRA normalerweise mit steigendem Vermögen abnehmen sollte?
Ja. - In Aufgabenset 8/ Nr.2 wird folgender Zusammenhang verwendet: x transponiert * Omega * x = Var(x). Wo kommt dieser Zusammenhang her?
In der Übung (Wiederholung der Wahrscheinlichkeitsrechnung) haben wir Ihnen eine Definition des Erwartungswertes bei stetigen und diskreten Zufallsvariablen gegeben und darauf aufbauend eine Definition der (Ko-)varianz. Wenn Sie in diese Formel für die Varianz [Var(x)=Cov(x,x)=E(x-E(x))] für x den Rückfluss aus einem Portfolio X_Pf= aX + bY + cZ +... einsetzen, so erhalten Sie nach Nutzung der Definition des Erwartungswertes und einiger Umformungen das Ergebnis x'Omega x mit dem Vektor der Wertpapiermengen x'=(a b c ...). Auf diese Rechnung haben wir in der Übung verzichtet. - Reicht es in der Aufgabe b) von Set 6) nicht aus, einfach das Integral von minus unendlich bis vier zu bilden, um SSD nachzuweisen?
Nein, damit SSD vorliegt, muss für jede beliebige Obergrenze t gelten, das das Integral von minus unendlich bis t über F_x kleiner oder gleich dem Integral in den gleichen Grenzen über F_y ist. - Wir haben in den Aufgaben [zur stochastischen Dominanz] stets das Intervall von "untere Schranke" bis s gebildet [...]. Wäre es auch möglich, die konkreten Zahlenwerte bei den Integralgrenzen einzusetzen? Bspw. im Aufgabenteil 6b) dann das Integral von 0 bis 0,25, von 0,25 bis 0,75 und von 0,75 bis 1?
Nein. Der von Ihnen vorgeschlagene Weg stellt keine allgemein gültige Lösung dar, sondern nur für bestimmte einfache Probleme wie in den Übungsaufgaben (Geradengleichungen). - Anhand der Formel für SSD kann ich ja nur die stochastische Dominanz von F_x über F_y messen. Wie messe ich, ob F_y stochastisch dominant über F_x ist?
Die Bezeichnungen im Satz 2.14 sind vollkommen willkürlich gewählt. Sie können X und Y auch umdrehen, dann allerdings nicht nur in den Verteilungs-, sondern auch in den Nutzenfunktionen darüber und erhalten dann die Bedingung der stochastischen Dominanz zweiter Ordnung von F_y über F_x. - Warum haben wir im zweiten Fall (0,25 ≤ s ≤ 0,75) von Aufgabe d) aus Set 6) den Wert 0,25 nicht nur als Untergrenze des Integrals über F_x, sondern auch als Untergrenze des Integrals über F_y gewählt? Müsste bei F_x die Untergrenze nicht null sein?
Ja, Sie haben Recht. Wir haben in der Übung willkürlich einen strengeren Wert von 0,25 als Untergrenze des Integrals über F_x angenommen, damit die Rechnung eleganter wird. Methodisch korrekt wäre bei F_x aber eine Integraluntergrenze von null. - In Aufgabe 3/2) müsste die Wahrscheinlichkeit für eine Auszahlung von 8 Geldeinheiten eigentlich 1/16 sein, denke ich.
Nein, weil Sie eine Auszahlung von 8 GE nicht nur erhalten, menn Sie beim vierten Mal Wappen werfen, sondern auch, wenn Sie beim fünften, sechsten, siebten,... Mal Wappen werfen. Also kurz: Immer dann, wenn Sie beim 3 Wurf noch kein Wappen geworfen haben, erhalten Sie eine Auszahlung von 8 GE, egal wie häufig Sie weiterwerfen dürfen. Dieses ist immer dann der Fall, wenn Sie die ersten drei Male Zahl geworfen haben. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8. - In der online verfügbaren Übungsklausur vom WS 07/08 soll man in der ersten Aufgabe Nutzenfunktionen umformen. Da dies nicht möglich ist, ist ein Gegenbeispiel zu finden. In der Lösung dieser Klausur sind für diese Gegenbeispiele Zahlen verwendet worden, auf die wir in der Klausur nicht so schnell kommen würden. Gibt es eine Möglichkeit, diese Zahlen zu errechnen oder muss man ewig rumprobieren?
Sie müssen probieren. Es gibt aber einige Tricks, um Gegenbeispiele zu finden. Zunächst einmal sollten Sie sich verdeutlichen, ob und warum die beiden Nutzenfunktionen nicht stets die gleichen Präferenzen repräsentieren. Beispielsweise ist dieses bei –(1/x) die Sprungstelle oder bei x^2 das Minimum bei x=0. Entsprechend dieser Überlegungen sollten Sie einige einfache Zahlenwerte (bevorzugt Nullen, Einsen, etc.) so wählen, dass Sie möglichst in die entsprechenden Bereiche geraten, in denen sich die beiden Funktionen unterschiedlich verhalten. Kommen Sie noch nicht auf unterschiedliche Vorzeichen bei beiden Nutzenfunktionen, sollten Sie die Werte der Variablen entsprechend variieren. - Eine Frage zu der Klausuraufgabe 2 aus dem Sommersemester 08. Wie müsste ich denn die Wahrscheinlichkeiten setzen, wenn nicht der erste Zustand, sondern der zweite Zustand mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 eintreten würde.
Sie sind vollkommen frei, welchem der verbleibenden beiden Zustände (eins und drei) Sie dann die Variable q (oder z oder v...) als Wahrscheinlichkeit zuordnen. Der dann noch verbleibende letzte Zustand hätte dann die Wahrscheinlichkeit 1-1/2-q = 1/2-q. - Mir geht es um die Überprüfung von SSD im Aufgabenset 6d. Können wir es uns dort nicht einfacher machen, indem wir die Fläche von 0 bis 0,5 berechnen und diese mit der Fläche von 0,5 bis 1 vergleichen?
Wenn Sie die Differenz der Flächen meinen, dann haben Sie in diesem speziellen Fall Recht. Allgemein funktioniert dieses Vorgehen aber nur, wenn die Steigung einer Verteilungsfunktion in einem Intervall stets größer ist als die Steigung der zweiten Verteilungsfunktion. - Eine Frage zur Nutzenmaximierung bei Mu-Sigma-Nutzenfunktionen: Warum wird bei der Bestimmung von E(x) das risikolose Portfolio bzw. dessen EV benutzt und bei der Bestimmung der Varianz NICHT, d.h. warum kommt da kein x1 vor?
Die Varianz des risikolosen Titels beträgt null, ebenso alle Kovarianzen dieses Titels mit riskanten Titeln. Durch die Multiplikation mit diesen Nullen entfallen alle x1 in der Varianzkomponente. - In Aufgabenset 1, Aufgabe 2 wird untersucht, ob U*(X) die gleiche Präferenz repräsentiert wie U(X). Für den Fall das dies nicht der Fall ist, haben wir in der Übung immer ein Gegenbespiel gesucht. Wäre es auch in einer Klausuraufgabe möglich, kein Gegenbeispiel zu finden und so zu argumentieren, dass U*(X) zwar durch Transformation aus U(X) erzeugt werden kann, es sich aber nicht um eine strikte monotone Transformation handelt? Bspw. Teilaufgabe f) --> -(..)^-1 zwar monotone Transformation, aber nicht strikt.
Diese Argumentation ist noch kein Beweis, aber ein wesentlicher Schritt dorthin. Sie würden daher nicht die volle Punktzahl erhalten, aber einen uns angemessen erscheinenden Anteil. - In Set 9 Nr 1b): Muss ich das risiklose Asset kaufen oder bekomm ichs geschenkt ?
Sie müssen laut Aufgabenstellung für zusätzliches risikoloses Asset (Menge y) auf Anteile am riskanten Portfolio (Menge (1-y)) verzichten. Das entspricht einer Kaufentscheidung mit einem beschränkten Budget. - Beim Durchrechnen der Übungen hat sich ein Problem mit der Zeichnung der Indifferenzkurve in Set 2 Aufgabe 1 ergeben. Uns ist nicht klar, wie sich "c" auf die Verschiebung der Kurve auswirkt, bzw. ob wir "c" willkürlich einzeichen können.
"c" ist eine beliebige Konstante, Sie können also bspw. c = 1, 2, 3 oder 4 wählen. Wenn Sie c=3 wählen, so erhalten Sie die Indifferenzkurve für einen Nutzen von U=3 und diese verläuft in Set 2/1) von X_0=3 und X_1=unendlich bis X_0=4 und X_1=0 (s. Abbildung 1 mit c=4). Den Einfluss des Nutzenniveaus c auf die Indifferenzkurve können Sie graphisch darstellen, wenn Sie wie oben skizziert c=1,2,3,4 einsetzen und die resultierenden Indifferenzkurven einzeichnen. Wie aus Abbildung 1 ersichtlich ist, besitzt diese Indifferenzkurve stets die gleiche Form und wird lediglich nach rechts verschoben. - In der alten Klausur aus dem WS 07/08 Bei Aufgabe 4 B sollen wir sowohl die Varianz als auch den Erwartungswert berechnen. Bei der Berechnung der Varianz ist für mich unverständlich warum ich erstens ganz hinten den Erwartungswert minus 100 quadriere und zweitens, warum bei der Bildung der Stammfunktion die 1/20 aus dem ersten Integral verschwinden.
Die risikolose Komponente der Gesamtzahlung beträgt einhundert. 587,5-100 ergibt daher den Erwartungswert der riskanten Zahlung. Wenn diese bei der Berechnung von E(X)^2 nicht von E(X) subtrahiert würden, müsste man sie auch im ersten Term E(X^2) der Formel für die Varianz berücksichtigen.Zur zweiten Frage: die Stammfunktionen wurden bereits zusammengefasst. (20S)^2 = 400 S^2. Geteilt durch 20 ergibt sich 20 S^2. Aufgeleitet erhält man 20/3 S^3. - Ist es in der Aufgabe d) vom Aufgabenset 6 möglich, den Satz 2.15 zur Lösung zu nutzen, anstatt das Ergebnis über die relativ umfangreiche Berechnung der Integrale zu bestimmen?
Ja. - Woher weiß ich in der Klausur vom WS09/10 in Aufgabe 4, dass ich nur auf eine mögliche stochastische Dominanz des Wertpapiers Y über das Wertpapier X prüfen muss?
F_Y besitzt für kleine t einen niedrigeren Wert als F_X. Daher kann X nicht stochastisch dominant sein, weder erster noch zweiter Ordnung. - Ist immer eines der Wertpapiere stochastisch dominant?
Nein. - In Aufgabe 9/3) schöpft der Investor sein Budget nicht aus, da kein risikoloses Asset existiert. Bewahrt der Investor das restliche Geld einfach auf?
Nein. Ohne ein risikoloses Asset hat der Investor keine Möglichkeit, sein (Geld-)Vermögen risikolos in die Folgeperiode zu transportieren. Das nicht genutzte (Geld-)Vermögen geht verloren. - In der Klausuraufgabe 4 aus dem WS09/10 wird bei der Prüfung auf SSD über den gesamten Definitionsbereich integriert, obwohl sich die Funktionen bei t=0,5 schneiden. In den Übungen haben wir das anders gemacht.
In den Übungen wiesen die Funktionen Unstetigkeitsstellen ("Sprünge") auf. Daher mussten wir bei den Integralen Fallunterscheidungen vornehmen. Schnittstellen haben hingegen keinen Einfluss auf die Integralgrenzen. - In Set 4/1 bedienen wir uns der bekannten Näherungsformel für die Markowitzprämie. Warum setzen wir im letzten Schritt für x 0,5c ein?
Die Näherungsformel für die Markowitzprämie enthält ARA(E(x)). Bereits zuvor hatten wir E(x)=c/2 ermittelt und diesen Wert setzen wir nun in ARA(x) ein. - Set 9.1a): In der Aufgabe wird nach der Standardabweichung gefragt, wir berechnen allerdings nur die Varianz. Unserer Meinung nach müsste man noch die Wurzel ziehen.
Stimmt. - Set10.4: Die Nutzenfunktion des Investors enthält unter der Wurzel die Portfoliovarianz. Hierfür gibt es eine Formel X1^2 * Var(Y1) + X2^2 * Var(Y2) + 2*X1*X2*Cov(Y1,Y2). Warum berücksichtigen wir in unsere Lösung die Kovarianz nicht?
Die Kovarianz der Zahlungen eines riskanten Titels und eines risikolosen Titels ist immer null. Daher entfällt dieser Term. - Eine Frage zur Endklausur WS09/10, Aufgabe 1 (einfaches Portfolioproblem). Sie sagten, dass bei sinkende Vermögen die Aussagen für steigendes Vermögen einfach umgekehrt werden. Wenn bspw. x sinkt und ARA/RRA fällt, nimmt die Menge bzw. der Anteil an riskanten Wertpapieren ab. Gilt dieses auch für steigende ARA/RRA, d. h. erhöht sich die Menge/der Anteil an riskanten Wertpapieren, falls x sinkt?
Ja. Bei sinkendem Vermögen kehren sich die Aussagen für steigendes Vermögen einfach um. Damit geht auch ihre zweite Aussage dann unmittelbar aus Satz 2.8 hervor. Wenn ARA eine wachsende Funktion in w darstellt, ist n* eine fallende Funktion in w (steigendes Vermögen) und somit eine steigende Funktion in -w (sinkendes Vermögen). - In Aufgabenset 9(3) verstehe ich nicht, warum die Budgetrestriktion nicht bindet.
In einer Optimierung unter einer Nebenbedingung wird die Nebenbedingung immer exakt erfüllt. In unserem Fall greift also die Budgetrestriktion in alle Richtungen, d. h. Sie nutzen Ihr gesamtes Budget immer exakt aus. Falls ein risikoloses Asset existiert, ist diese Beschränkung notwendig, damit Sie nicht mehr risikoloses Asset kaufen als Sie aus Ihrem Budget bezahlen können. Ohne ein risikoloses Asset zwingt Sie die Nebenbedingung aber, Ihr Budget auszuschöpfen, auch wenn Ihr Nutzen dadurch sinkt (Sättigungspunkt überschritten). Wir haben das riskante Portfolio daher zunächst unter einer Nebenbedingung optimiert und anschließend ohne diese. Wir sind dabei zu dem Schluss gekommen, dass Ihr Nutzenmaximum vorliegt, wenn Sie Ihr Budget nicht voll ausschöpfen. - Warum verkaufen wir in Aufgabenset 10(4) unendlich viel des risikolosen Assets leer?
Sie können sich einen Leerverkauf vereinfacht so vorstellen, dass Sie sich in t=0 risikoloses Asset von einer anderen Person leihen und dieses am Kapitalmarkt verkaufen. Sie erhalten also in t=0 Geld. Von diesem Geld kaufen Sie das riskante Asset. In t=1 erhalten Sie die Auszahlung des gekauften riskanten Assets und kaufen von diesem Geld das risikolose Asset zurück. Dieses geben Sie an die Person zurück, von der Sie es sich in t=0 geliehen haben. Sie benötigen also in t=0 die Leerverkäufe des risikolosen Assets, um den Kauf des riskanten Assets zu finanzieren. - Eine Frage zur dritten Aufgabe der Klausur SS08 Im Lösungsweg wird die Nutzenfunktion "eindeutig" mit 1 - e^(-0,2x) bestimmt. Ist dies wirklich "eindeutig" oder könnte man sich die +1 auch sparen, weil es ja eine Kardinaltransformation ist?
Über U(0)=0 und U'(0)=2 ist die CARA-Nutzenfunktion U(x)=(1 - e^(-0,2x)) tatsächlich eindeutig vorgegeben. Die von Ihnen vorgeschlagene Nutzenfunktion - e^(-0,2x) ist zwar äquivalent in dem Sinne, dass sie zu identischen Entscheidungen führt, sie erfüllt jedoch nicht die Bedingung U(0)=0. - Wenn die ARA konstant bei Null liegt und die RRA größer Null ist z.B bei 2 dann steigt ja die RRA bei wachsendem Vermögen und die ARA bleibt konstant. Demnach bleibt bei wachsendem Vermögen die Menge an konsumierten riskanten Titeln gleich und der Anteil an riskanten Titeln am gesamten Portfolio sinkt. Was aber passiert bei sinkendem Vermögen? Wenn ich recht ueberlege müsste nach gesundem Menschenverstand der Anteil maximal gleich bleiben und die Menge sinken. Die konsumierte Menge bleibt doch bestimmt nicht gleich, oder?
Doch! Im genannten Fall bleibt die Menge des riskanten Assets bei sinkendem Vermögen gleich und der Anteil steigt somit, bis er irgendwann 100% beträgt. Dass Ihnen das unplausibel vorkommt, liegt daran, dass eine sinkende RRA bei wachsendem Vermögen kaum mit "dem gesunden Menschenverstand" in Einklang zu bringen ist. Intuitiv kann man sich vielleicht noch den Fall vorstellen, dass bei einem sinkendem Vermögen risikolosere Rückflüsse nicht mehr zum Leben reichen und dass man somit zunehmend alles auf eine Karte setzen muss. - Wieso ist in Set 6c) f_y (t) = 2 und f_x (t) = 1 ?
In der Übung zu Set 4) hatten wir hergeleitet, dass eine auf dem Intervall [a,b] gleichverteilte Zufallsvariable x die Dichtefunktion f(x)= 1/(b-a) besitzt. - Der Satz 2.8 (S. 27) ist meiner Meinung nach länger als eine Seite. Ist dieser somit zu vernachlässigen?
Sie meinen den Beweis, nicht den Satz selbst: Korrekt. - In den Probeklausuren bzw. Altklausuren gab es meist eine Aufgabe, in der eine alternative Lösung mit dem Lagrange-Ansatz möglich war, aber auch ohne diesen die Aufgabe zu lösen war. Ist dieser also auch nicht notwendigerweise klausurrelevant?
Nein, es könnte durchaus sein, dass wir in einer Aufgabe verlangen, dass diese mit Lagrange zu lösen ist.